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《花卉趣味百話》(連載)七十四、花卉的數學趣話

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  《花卉趣味百話》(連載)

  陳宣章陳瓏玥編著

  七十四、花卉的數學趣話

  有道趣味數學題:苗圃有塊9尺9寸見方的地,相鄰兩株樹苗距離1尺,最多能種多少株樹苗?甲設計方案:種10行,每行10株,共100株。乙設計方案:沿對角線種,每邊8株,共113株。丙設計方案:按正三角形種,每行10株,行距0。866尺(邊長1尺的正三角形底邊的高),共12行,結果種了120株。

  這種以植物為內容的趣味數學題非常多。但是,自然界中植物本身的趣味數學更奧妙!古希臘著名的數學家畢達哥拉斯和他的學派相信“哪裡有數哪裡就有美”,數和數學中有豐富的美感和趣話。而植物中就有許多這樣的美感和趣話。

  一張直角三角形的紙卷到一個圓筒上,斜邊就成一條螺旋線,因在圓柱上形成,叫“圓柱螺旋線”。牽牛花是蔓生植物,常纏繞其它直立較粗壯的物體向上爬,形成圓柱螺旋線。牽牛花為何要如此向上爬呢?因植物需要陽光,只有長得更快更高,才能獲得較多陽光。牽牛花要爬快爬高,可自己枝幹非常細弱,只有纏繞別的物體向上爬。展開圓柱側面,可以看出:主幹上圓柱螺旋線的一個“周期”正好是側面展開矩形的對角線。因為兩點間以連結這兩點的線段為最短,所以,牽牛花也是按照數學最小值的原理來達到自己的目的。

  在令人眼花繚亂的數學美中,最瑰麗的莫過於黃金律(黃金分割)了。為了能在大自然的風霜雨雪中生存下來,植物選擇了長高和長粗的最佳比例,即“黃金比率”0。618。在小麥或水稻的莖節上,可看到其相鄰兩節之比為1:1。618,又是一個“黃金比率”。還有松果、菠蘿等果實表面,都具有明顯的“黃金螺旋線”特徵。這是一條非常美麗的曲線。

  將圓周角360°按黃金分割成兩部分:222°32`和137°28`。很多植物的葉子按空間螺旋線自下而上順序逐個萌出,奇妙的是:每相鄰兩個葉柄的夾角都是137°28`。而這種角度的通風和採光效果恰恰最佳。

  17世紀著名的法國數學家笛卡兒,以創立坐標法而享有盛譽。他在研究一簇花瓣和葉子的曲線特徵后,列出了X3+Y3-3aXY=0的曲線方程式,準確形象地揭示了植物葉子和花朵形態所包含的數學規律,因此取名“笛卡兒葉線”或“葉形線”,又稱作“茉莉花瓣曲線”。如果將參數a的值加以變換,便可描繪出不同植物葉子或者花瓣的外形圖。

  科學家對垂柳、睡蓮、三葉草、常青藤等植物進行認真觀察和研究后,發現植物之所以擁有優美造型(如:花瓣對稱排列在花托邊緣;整個花朵近乎完美地呈現輻射對稱形狀;葉子有規律地沿着植物的莖桿相互疊起;種子或呈圓形、或似針刺、或如傘狀……),在於它們和特定的“曲線方程”有密切關係。其中用來描繪花、葉輪廓的曲線稱作“玫瑰形線”;植物的螺旋狀纏繞莖取名為“生命螺旋線”。

  撲克牌上的“梅花”並非真正的梅花,甚至不是什麼花,而是三葉草。西方歷史上,三葉草的象徵意義,據說:第一葉代表希望,第二葉代表信心,第三葉代表愛情。誰能找到四葉的三葉草,就會交上好運,找到幸福。在野外尋找四葉的三葉草,是西方的一種兒童遊戲,確實很難找到。據估計,每一萬株三葉草,才會出現一株四葉的突變型。

  在我國,梅花有着類似的象徵意義。民間傳說梅花五瓣代表五福。民國把梅花定為國花,聲稱梅花五瓣象徵五族共和,具有敦五倫、重五常、敷五教的意義。但是,梅花有五枚花瓣並非獨特。事實上,植物花最常見的就是五枚花瓣,如:與梅同屬薔薇科的其他物種,像桃、李、杏、梨、櫻花、蘋果等都開五瓣花。常見的花瓣數還有:3枚的鳶尾花、百合花(看上去6枚,實際上是兩套3枚);8枚的飛燕草;13枚的瓜葉菊;向日葵花瓣是21或34枚;雛菊花瓣是34、55或89枚。而花瓣是其他數的花則很少。為什麼花瓣數目不是隨機分佈的?3,5,8,13,21,34,55,89……這些數有什麼特殊嗎?有的,它們是斐波納契數。

  斐波納契(1170-1240)是中世紀意大利數學家。他在解一道關於兔子繁殖的問題時,得出了這個數列。假定有一雄一雌一對剛出生的兔子,它們長到一個月大小時開始交配;在第二月底,雌兔產下另一對兔子;再過一個月後第二對兔子也開始繁殖,如此這般持續下去。每隻雌兔在開始繁殖時每月都產下一對兔子,假定沒有兔子死亡,那麼一年後總共有多少對兔子呢?在第一月底,最初的一對兔子交配,但仍只有1對兔子;在第二月底,雌兔產下一對兔子,共有2對兔子;在第三月底,最老的雌兔產下第二對兔子,共有3對兔子;在四月底,最老的雌兔產下第三對兔子,第二對兔子的雌兔產下第四對兔子,共有5對兔子……如此這般計算下去,兔子對數分別是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……這個斐波納契數列有個規律:從第3個數開始,每個數都是前面兩個數之和。

  植物中的斐波納契數列非常多。不僅花,還有葉、枝條、果實、種子等形態特徵,都可發現斐波納契數。

  1。葉序是指葉子在莖上的排列方式,最常見的是互生葉序,即在每個節上只生1葉,交互而生。任意取一個葉子做為起點,向上用線連接各個葉子的着生點,可以發現這是一條螺旋線,盤旋而上,直到上方另一片葉子的着生點恰好與起點葉的着生點重合,做為終點。從起點葉到終點葉之間的螺旋線繞莖周數,稱為葉序周。不同種植物的葉序周可能不同,之間的葉數也可能不同。如:榆的葉序周為1(即繞莖1周),有2葉;桑的葉序周為1,有3葉;桃的葉序周為2,有5葉;梨的葉序周為3,有8葉;杏的葉序周為5,有13葉;松的葉序周為8,有21葉……用公式表示(繞莖周數為分子,葉數為分母),分別為1/2,1/3,2/5,3/8,5/13,8/21……這些是最常見的葉序公式。據估計大約有90%植物屬於這類葉序,而它們全都是由斐波納契數組成的。

  植物的生長也和斐波納契數有關。數學家澤林斯基在一次國際數學會議上提出樹木生長問題:一棵樹苗一年後長出一個新枝,每個老枝和新枝也每一年再長出一個新枝,那麼樹的分枝數就是斐波納契數列。

  向日葵的花盤中,其種子排列組成了兩組相嵌在一起的螺旋線,一組是順時針方向,一組是逆時針方向。再數數這些螺旋線的數目,雖然不同品種的向日葵會有所不同,但是這兩組螺旋線的數目一般是34和55、55和89、89和144,其中前一個數是順時針線數,后一個數是逆時針線數,而每組數都是相鄰的斐波納契數。

  再看菠蘿、松果上的鱗片排列,雖然不像向日葵花盤那麼複雜,也存在類似的兩組螺旋線,其數目通常是8和13。有些植物中,這種螺旋線不那麼明顯,需仔細觀察才會發現,如:花菜。花菜上的小花排列也形成兩組螺旋線,再數數螺旋線的數目,也是相鄰的兩個斐波納契數,如:順時針5條,逆時針8條。再掰下一朵小花仔細觀察,它實際上是由更小的小花組成的,而且也排列成兩條螺旋線,其數目也是相鄰的兩個斐波納契數。

  斐波納契數和黃金分割有密切關係。實際上,黃金率=Lim(n→∞)An/An+1≈0。618。其中的An和An+1就是相鄰的兩個斐波納契數。這就和另一個更古老的、早在古希臘就被人們注意到甚至去崇拜它的另外一個“神秘”數字有關。假定有一個數φ,它有如下有趣的數學關係:φ2-φ-1=0,這個方程有兩個解:

  ①正數解(1+√5)/2=1。……②負數解(1-√5)/2=-0。……

  這兩個數的小數部分是完全相同的。正數解(1。……)被稱為黃金數或黃金比率,通常用φ表示。這是一個無理數(無限不循環小數,沒法用分數來表示),而且是最“無理”的無理數。因為同樣是無理數,圓周率π用22/7,自然常數e用19/7,√2用7/5就可以很精確地近似表示出來,而φ則不可能用分母為個位數的分數做精確的有理近似。

  黃金數有一些奇妙的數學性質。它的倒數恰好等於它的小數部分,也即1/φ=φ-1,有時這個倒數也被稱為黃金數、黃金比率。如果把一條直線AB用C點分割,讓AB/AC=AC/CB,那麼這個比等於黃金數,C點被稱為黃金分割點;如果一個等腰三角形的頂角是36度,那麼它的高與底線的比等於黃金數,這樣的三角形稱黃金三角形;如果一個矩形的長寬比是黃金數,那麼從這個矩形切割掉一個邊長為其寬的正方形,剩下的小矩形的長寬比還是黃金數。這樣的矩形稱黃金矩形;黃金矩形可用上述方法無限切割下去,得到一個個越來越小的黃金矩形,而如果把這些黃金矩形的對角用弧線連接起來,則形成一個對數曲線;如把這些黃金矩形的中心用光滑的曲線連接起來,就是黃金螺線。

  常見的報紙、雜誌、書籍、紙張、身份證、信用卡用的形狀都接近於黃金矩形,據說這種形狀讓人看上去很舒服。的確,在我們的生活中,黃金數無處不在,建築、藝術品、日常用品在設計上都喜歡用到它,因為它讓我們感到美與和諧。

  相鄰兩個斐波納契數的比近似等於φ,n越大,則越接近;當n→∞,其比就等於φ。斐波納契數與黃金數密切關聯。植物喜愛斐波納契數,實際上是喜愛黃金數。這是為什麼呢?莫非冥冥之中有什麼安排?西方人說:“植物中的神秘數字是上帝安排的和諧美。”

  植物的枝條、葉子和花瓣有相同起源,都從莖尖的分生組織依次出芽、分化而來。新芽生長方嚮應與前面一個芽的方向不同,旋轉一個固定角度。如充分利用生長空間,新芽生長方嚮應與舊芽離得儘可能遠。那麼這個最佳角度是多少呢?如把這個角度寫成360°×n,其中0<n<1。由於左右各有一個相同角度(只是旋轉方向不同),例如n=0。4和n=0。6實際結果相同,因此只需考慮0。5≤n<1的情況。如果新芽要與前一個舊芽離得盡量遠,應長到其對側,即n=1/2。但是再長第2個新芽則與舊芽同方向,第3個新芽與第1個新芽同方向……,也就是說,僅繞1周就出現了重疊,總共只有2個生長方向,中間的空間都浪費了。如果n=3/5呢?繞3周就出現重疊,總共只有5個方向。事實上,如果n是個真分數p/q,則意味着繞p周就出現重疊,總共有q個生長方向。

  顯然,如果n是沒法用分數表示的無理數,就會“有理”得多。選什麼樣的無理數呢?圓周率π、自然常數e和√2都不是很好的選擇,因為它們的小數部分分別與1/7、5/7、2/5非常接近,也就是分別繞1、5、2周就出現重疊,分別總共只有7、7、5個生長方向。所以,越是“無理”的無理數越好。前面已提到,那只有黃金數φ≈1。618。也就是說,n的最佳值≈0。618,即新芽的最佳旋轉角度大約是360°×0。618≈222°32`(或137°28`)。

  前面提到,最常見的葉序為1/2,1/3,2/5,3/8,5/13和8/21,表示的是相鄰兩葉所成的角度(稱為開度),如果把它們換算成n(表示每片葉子最多繞多少周),只需用1減去開度,為1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21。它們是相鄰兩個斐波納契數的比值,是不同程度地逼近1/φ。在這種情形下,植物的芽可有最多的生長方向,佔有儘可能多的空間。對葉子來說,意味着儘可能多地獲取陽光進行光合作用,或承接儘可能多的雨水灌溉根部;對花來說,意味着儘可能地展示自己吸引昆蟲來傳粉;而對種子來說,則意味着儘可能密集地排列起來。這一切,對植物生長繁殖都大有好處。可見,植物之所以偏愛斐波納契數,乃是在適者生存的自然選擇作用下進化的結果,並不神秘。

  1976年國際數學會議上,美國普林斯頓大學的哈德羅·庫恩教授宣讀了一篇奇特的論文。眾所周知,N次方程在複數範圍內有N個根,但除N=2和少數例外,要找出N個複數根是很困難的,你想解一個複數係數是N次的方程嗎?那請你看看庫恩先生的表演吧:他準備了一個培養皿和一個立體大籬笆,籬笆越往上越密。然後把你要解的方程的信息“告訴”培養皿。皿內吐出幾個新芽,芽變成藤,飛快地攀上籬笆,一層一層往上穿。最後,每根藤恰好指向方程的一個根,於是方程的N個根就被找出來了。與會者無不目瞪口呆,驚奇萬分。植物竟會解方程!原來庫恩先生運用的是現代數學中一個極為重要的定理,這就是拓撲學中著名的“不動點定理”。因為學問太深,這裡就不詳細解釋了。

  近十幾年產生新興的分形數學(分維幾何學):空間具有不一定是整數的維,存在一個分數維數。這就它最本質的東西。分形圖案是指一種通過縮小比例的方法不斷重複自身的圖形。生活中,我們看到洋槐樹、蕨類植物這些很美麗的大自然圖案,就是分形圖案的典型例子。組成某一蕨類植物的枝幹本身就是這一蕨類植物的微型翻版,也就是說,任何一株獨立的蕨類植物都是由與其外觀相似的小分枝組成的。分形維數是指在某一區域內自相似圖形按比例放大的速度。如果區域內自相似圖形之間的密集度越高,這一區域的分形維數越大。

  其實,許多科學都是受現實生活的啟發。植物中的趣味數學就是科學的鑰匙。



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